Convergence en probabilité \(X_n\overset{({\Bbb P})}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} X\)
La probabilité que la différence soit supérieure/inférieure à une constante quelconque tend vers \(0\). $$\forall\varepsilon\gt 0,\quad {\Bbb P}(\lvert X_n-X\rvert\gt \varepsilon){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$$

• cette convergence est métrisable : on a une distance définie sur \(L^0(\Omega,\mathcal A,{\Bbb P})\) des variables aléatoires quotienté par la Relation d'équivalence \(\overset{ps}=\) : $$d(X,Y)={\Bbb E}[\lvert X-Y\rvert\land1]$$
    
• propriété importante sur cette distance elle rend \(L^0(\Omega,\mathcal A,{\Bbb P})\) complet
• si on a la convergence en probabilité, alors on peut aussi avoir la convergence \(L^p\), à condition que le Moment absolu d'ordre \(r\) soit borné pour un certain \(r\gt p\)

Questions de cours

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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: A part la convergence en probabilité, existe-t-il d'autres modes de convergence qui sont métrisables ?
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Montrer que \(d\) est une distance.

Deux axiomes sont triviaux

La séparation se vérifie via la relation d'équivalence \(\overset{ps}=\).

Montrer que si \(X_n\overset{(\Bbb P)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} X\), alors \(d(X_n,X){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\).

Séparer la distance via une indicatrice qui regarde si la distance \(\lvert\cdot\rvert\) entre les deux v.a. Est majorée par \(\varepsilon\).

Les deux parties peuvent être facilement bornées, ce qui permet de conclure.

Montrer que si \(d(X_n,X){\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0\), alors \(X_n\overset{(\Bbb P)}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow} X\).

On peut majorer la probabilité d'être \(\gt \varepsilon\) (pour \(\varepsilon\) assez petit) via l'Inégalité de Markov.

On prend une suite de Cauchy et on en extrait une sous-suite tq les distances entre deux termes consécutifs sont \(\leqslant2^{-k}\).

On peut alors en déduire que la somme des différences \(\lvert\cdot\rvert\) converge.

En passant par la suite des sommes partielles où on a enlevé \(\lvert\cdot\rvert\), on montre que la suite converge, et donc que l'espace est complet.

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de suite de variable aléatoire qui converge en probabilités vers une limite, mais pas presque-sûrement.
Verso:

Bonus:
Carte inversée ?:
END

Démontrer :

On a une sous-suite qui converge presque sûrement.

On utilise le Lemme de Fatou pour montrer que le moment absolu d'ordre \(r\) de cette sous-suite est borné (via l'hypothèse), et donc que la limite \(\overset{ps}\,\) est dans \(L^r\).

Séparer la norme \(\lVert\cdot\rVert_p\) de la différence via une indicatrice qui la compare avec \(\varepsilon\gt 0\).

On conclut en majorant en utilisant l'Inégalité de Hölder pour la partie \(\geqslant\varepsilon\).

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle hypothèse doit-on avoir pour que la convergence en probabilité entraîne la convergence \(L^p\) ?
Verso: On doit avoir \({\Bbb E}[\lvert X_n\rvert^r]\leqslant C\), avec \(r\gt p\).
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle hypothèse doit-on avoir pour que la convergence en probabilité entraîne la convergence \(L^1\) ?
Verso:

1. On doit avoir la domination \(\lvert X_n\rvert\leqslant Z\), avec \(Z\in L^1\).
2. On doit avoir \({\Bbb E}[X_n]{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}{\Bbb E}[X]\)

Bonus: Théorème de convergence dominée, Lemme de Scheffi Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelle hypothèse doit-on avoir pour que la convergence en probabilité entraîne la convergence \(\overset{ps}\,\) ?
Verso: La convergence \(\overset{ps}\,\) a lieu le long d'une sous-suite uniquement.
Bonus:
Carte inversée ?:
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